Von Uwe Wehrspohn und Sergey Zhilyakov

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Inhalt

1.  Die Notwendigkeit Monte-Carlo Simulationen einfach erstellen zu können.

2.  Vorstellung von Risk Kit.

3.  Eine Gewinn- und Verlustsimulation.

    3.1.  Ein deterministisches Modell als Ausgangspunkt.

    3.2.  Die Quellen der Unsicherheit.

    3.3.  Definition der Modellausgaben.

    3.4.  Konfiguration der Simulation.

    3.5.  Simulation durchführen.

4.  Grafiken.

    4.1.  Statistikfunktionen.

5.  Sensitivitätsanalysen.

    5.1.  Sensitivitätsanalysen mit der Risk Kit Zellfunktion.

6.  Zusammenfassung.

7.  Unsere Produkte.

1.Die Notwendigkeit Monte-Carlo Simulationen einfach erstellen zu können

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Monte-Carlo Simulationen spielen eine immer bedeutender werdende Rolle der Finanzwirtschaft, den Sozialwissenschaften und im Risk Management. Monte-Carlo Simulationen sind eine generische Methode, um die Wahrscheinlichkeitsverteilungen beliebiger Zielgrößen in komplexen Umfeldern zu schätzen, hierzu zählen z.B. Gewinnverteilungen, Unternehmenswertverteilungen, Portfolioverlustverteilungen und allgemein die Verteilung jeder einem Zufall unterworfenen Zielgröße.

Monte-Carlo Simulationen in der Praxis einzusetzen ist jedoch oft gravierenden Schwierigkeiten unterworfen, wie etwa der Notwendigkeit Zufallszahlen zu erzeugen, ein Modell zu programmieren und die Simulationsergebnisse auszuwerten. Die Lösung dieser Probleme erfordert die Handhabung mathematischer Methoden ebenso wie von moderner Computertechnologie.

Risk Kit ist ein Werkzeug für die schnelle und einfache Erstellung von Risikoanalysen und Monte-Carlo Simulationen. Es stellt die für quantitatives Risikomanagement erforderlichen Komponenten zur Verfügung und es ermöglicht sie in einfacher und intuitiver Weise zu vollständigen Modellen und Risikoanalysen zu kombinieren. Risk Kit bietet vielen Anwendern einen effizienten Zugang zu quantitativem Risikomanagement und Monte-Carlo Simulationen. Es beschleunigt die Entwicklungszeit um ein Vielfaches im Vergleich zu konventionellen Ansätzen.

Alle Risk Kit Funktionen können als Zellenfunktionen in Microsoft Excel in die Tabellenkalkulation integriert werden. Darüber hinaus können Risk Kit Funktionen von VBA aus aufgerufen oder als .NET Assembly in Produktionsumgebungen eingebunden werden.

Der vorliegende Text beschreibt an einem Beispiel wie Monte-Carlo Simulationen und Risikoanalysen mit Risk Kit durchgeführt werden können¹.

2.Vorstellung von Risk Kit

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Risk Kit ist ein Addin für Microsoft Excel. Nach der Installation steht es über die ‚Risk Kit Toolbar‘ in Excel zur Verfügung.

Abbildung 1 – Die Risk Kit Toolbar in Microsoft Excel

Darüber hinaus beinhaltet das Kontextmenü der Zellen ein Untermenü ‘Risk Kit’, das ebenfalls die Funktionen der Toolbar enthält:

Abbildung 2 – Kontextmenü der Zellen

Die folgende Tabelle beschreibt alle Buttons der Risk Kit Toolbar:

Um eine Monte-Carlo Simulation eines bisher deterministischen Modells mit Risk Kit durchzuführen, gehen wir in vier Schritten vor. Zunächst müssen ein oder mehrere Inputs des Modells identifiziert werden, die in der Simulation zu Zufallsvariablen werden. Ihr bisheriger deterministischer Wert wird in der Simulation durch Zufallszahlen ersetzt, die sich in jedem Simulationslauf ändern. Durch diese Variablen kommt die Unsicherheit in das Modell.

Zweitens müssen die Modellergebnisse oder die Zielgrößen definiert werden. Sie werden aus den zufälligen Inputs und ggf. anderen Eingangsgrößen im Kontext des Modells berechnet.

Drittens muss eine Anzahl Simulationsläufe gewählt werden, so dass, viertens, die Simulation gestartet werden kann.

3.Eine Gewinn- und Verlustsimulation

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3.1.Ein deterministisches Modell als Ausgangspunkt

Um ein Beispiel zu geben, wie ein deterministisches Modell zu einer Monte-Carlo Simulation erweitert wird, betrachten wir eine einfache Gewinn- und Verlustrechnung.

Abbildung 3 - Deterministische Gewinn- und Verlustrechnung

Um Gewinn- und Verlust einer Firma zu berechnen, beginnen wir mit dem Umsatz der Firma (C4) und ziehen alle Kosten davon ab. In einem ersten Schritt sind dies die Material- (C5) und Personalkosten (C6) sowie Abschreibungen (C7), die zu dem ordentlichen Geschäftsergebnis vor Zinsen und Steuern (‘Earnings before interests and taxes’ (EBIT)) (C8) führen. Schließlich wird das Zinsergebnis (C9) hiervon abgezogen und der außerordentliche Ertrag (C10) dazu addiert, um den Vorsteuergewinn zu erhalten (‘Earnings before taxes’ (EBT)) (C11). Alle Formeln sind einfache Summen und Differenzen.

Da die tatsächlichen Materialkosten zum größten Teil variabel sind und vom Umsatzniveau abhängen, modellieren wir sie als relative Größe ‘in % des Umsatzes’. Die absoluten Materialkosten sind dann C5 = B5 * C4.
 

3.2.Die Quellen der Unsicherheit

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Nachdem das deterministische Modell definiert ist, besteht der erste Schritt hin zu einer Monte-Carlo Simulation darin die Quellen der Unsicherheit im Modell zu benennen.

Wir nehmen an, dass der Umsatz, die Materialkosten, die Personalkosten und die außerordentlichen Erträge der Unsicherheit unterliegen (Spalte B). Das Ziel besteht darin, ihre Wirkung auf das ordentliche Geschäftsergebnis und das Gesamtergebnis vor Steuern zu bestimmen (Spalte C). Beachte, dass Risiken auch im Sinne von Chancen (z.B. zufällige Kostenentlastungen) auftreten können, die den Gewinn steigern.

Während im deterministischen Modell ein Gewinn von 1.000 TEUR angenommen wurde, wissen wir aus Erfahrung, dass diese Größe nicht konstant ist, sondern in der Praxis zufällig schwankt, z.B. zwischen 900 und 1.050 TEUR, wobei 1.000 TEUR der ‚wahrscheinlichste Wert’ sei. Wir wählen daher eine Dreiecksverteilung als intuitives Modell für die Umsatzschwankungen.

Abbildung 4 - Modellierung der Umsatzschwankungen

Um eine dreiecksverteilte Zufallszahl in das Modell einzufügen, markieren wir Zelle B4 und klicken auf den ‘Funktionen’-Button in der Risk Kit Toolbar.

Dieser Dialog erscheint:

Abbildung 5 - Funktionsdialog

Risk Kit bietet mehr als 430 Funktionen aus 7 Kategorien:

1. Univariate – Univariate, d.h. eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen;

2. Multivariate – Multivariate, d.h. mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese Liste enthält Funktionen, die Zufallszahlen von multivariaten Verteilungen und Copula-Funktionen zur Verfügung stellen;

3. Process - Trends und zufällige Pfade und in einigen Fällen punktweise Konfidenzbänder von stochastischen Prozessen;

4. Statistics - Funktionen zur Berechnung von Statistiken der simulierten Verteilungen wie Mittelwert, Varianz, Quantile u.a.;

5. General - Die Rubrik enthält Funktionen, um beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen und stochastische Prozesse zu plotten, zum dynamischen Sortieren, um Statistiken von Simulationsergebnissen zu berechnen, zur Portfoliooptimierung und Berechnung der Efficient Frontier, zur Gestaltung von Delta-Gamma-Engines.;

6. FixedIncome - Bietet eine Reihe grundlegender Funktionalitäten für Zinsinstrumente an wie etwa die Handhabung von Zins- und Spreadkurven, die Berechnung von Forwardzinsen, die Berechnung von Cashflows für zinstragende Geschäfts wie Kredite und Bonds, die Bewertung von variabel und festverzinslichen Bonds und die Berechnung von Ausfallwahrscheinlichkeiten aus Bond Spreads;

7. Rating - Ratingfunktionen für kleine und mittelständische Unternehmen in Deutschland, Österreich und den USA.

Da wir eine dreiecksverteilte Zufallszahl einfügen wollen, wählen wir die Kategorie ‘Univariate’ und in der Liste den Eintrag Triangular.

Nachdem wir mit ‘OK’ die Auswahl bestätigt haben, werden sechs Funktionen angezeigt:

Abbildung 6 - Funktionen für univariate Verteilungen

1. Eine gemeinsame Funktion, bei der der Funktionstyp über einen Parameter gewählt werden kann.

2. Die Wahrscheinlichkeitsdichte (probability density function (PDF)) im Fall von stetigen Verteilungen bzw. die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (probability mass function (PMF)) bei diskreten Verteilungen.

3. Die Verteilungsfunktion (cumulative distribution function (CDF)),

4. Die inverse Verteilungsfunktion (inverse cumulative distribution function (ICDF)) und

5. Einzelne Zufallszahl (variate) der betreffenden Verteilung.

6. Vektor aus Zufallszahlen der betreffenden Verteilung. Diese Funktion kann für Simulationen in hoher Geschwindigkeit verwendet werden, wenn ein Modell viele Risikofaktoren mit derselben Verteilungsfamilie enthält.
   
    

Diese Funktionen stehen für jede eindimensionale Verteilung zur Verfügung.

Eine alternative und oft intuitivere Möglichkeit, eine Verteilung auszuwählen, besteht darin, in der Symbolleiste auf die Schaltfläche "Univariat" zu klicken und die Verteilungsgalerie zu öffnen.

Abbildung 7 - Verteilungsgalerie

Die Galerie zeigt für jede Verteilung ein Vorschausymbol, das eine typische Form der Dichte- oder Massenfunktion der Verteilung illustriert. Die Verteilungen sind auch nach Namen geordnet.

Bewegen Sie den Mauszeiger über ein Vorschausymbol, um weitere Informationen über die Verteilung zu erhalten. Außerdem wird eine Tastenkombination für die Verteilung angezeigt, wenn eine solche definiert wurde².

Abbildung 8 - Informationen über die Verteilung und Tasktenkombinationen in der Galerie

Klicken Sie auf eine Verteilung, um sie aus der Galerie auszuwählen, und wählen Sie "Einzelne Zufallszahl" wie oben beschrieben.

Sie können jetzt die Verteilungsparameter eingeben.

Abbildung 9 - Funktionsargumente der Dreiecksverteilung

Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten. Sie können einmal die Parameter in ein Excel Arbeitsblatt schreiben und im Funktionsaufruf eine Referenz auf die betreffenden Zellen angeben. Dies wird in Abbildung 9 dargestellt. Parameter ‚a’ enthält eine Reference auf Zelle B17 mit der unteren Grenze für die Umsatz, ‚b’ enthält eine Referenz auf C17 mit dem ‚wahrscheinlichsten Wert’ und ‚c’ auf D17, der optimistischten angenommenen Umsatzgrenze.

Alternativ können Sie die Parameter direkt eingeben.

Abbildung 10 - Funktionsargumente

Im Dialog kann ein Ausgabename (Outputname) angegeben werden (nur für univariate Verteilungen). Der Ausgabename wird in Grafiken und Ausgaben von Statistiken als Legende für diese Verteilung erscheinen.

Der Dialog zeigt noch einige weitere Informationen über die gewählte Verteilung und ihre Parameter. Zunächst erhalten Sie eine kurze Zusammenfassung, was die Verteilung tut. In diesem Fall erzeugt sie eine ‚Zufallszahl einer Dreiecksverteilung mit den Parametern a, b und c’.

Wenn Sie einen Parameter eingeben, werden Informationen über seinen Definitionsbereich angezeigt. In unserem Fall ist es erforderlich, dass z.B. Parameter c größer oder gleich b ist.

Unterhalb der Grafik sehen Sie die Definition der Funktion, die in der Grafik dargestellt ist.

Beachten Sie schließlich den Link zur Onlinehilfe in der unteren linken Ecke des Dialogs und das Tastenkürzel der Funktion in der Mitte unten.

Wenn Sie auf ‘Einfügen’ klicken, wird die Funktionsdefinition in Zelle B4 eingetragen und erscheint in Excels Formelzeile. Der Gesamtumsatz in C4 spiegelt jetzt auch das Risiko. Die Materialkosten sind hiervon ebenfalls betroffen, obwohl ihr Prozentsatz immer noch konstant bei 50% liegt, weil sie ebenfalls vom Umsatz abhängen.

Sie können Zufallszahlen manuell neu ziehen lassen, indem Sie <F9> drücken.

Abbildung 11 - Zelle enthält die Risk Kit Funktion

Wir fahren mit den anderen Risiken ähnlich fort. Für die relative Abweichung von den geplanten Materialkosten nehmen wir eine Normalverteilung mit Erwartungswert mu = 50% und Standardabweichung sigma = 3% an.

Abbildung 12 - Modellannahmen für die Materialkosten

Um die Formel in Zelle B5 einzugeben, platzieren wir den Cursor auf dieser Zelle und öffnen den Risk Kit Funktionsdialog. In dem Feld ‚Suchen nach’ geben wir ‚normal’ ein und bestätigen mit ‚Suchen’. Wenn wir eine Funktion markieren, erhalten wir eine kurze Erklärung ihrer Bedeutung. Wir stellen so fest, dass die Funktion ‚NormalD’ ist, was wir suchen, nämlich die Normalverteilung.

Abbildung 13 - Der Suchdialog für die Funktionen

Wir bestätigen die Auswahl mit ‘OK’ und wählen ‘Einzelne Zufallszahl’. Hierdurch gelangen wir zu dem Dialog, in den wir die Referenz auf B21 für mu und auf C21 für sigma eingeben können. Mit ‚Einfügen’ wird die Funktionsdefinition in B5 eingetragen. Beachten Sie, dass Sie diesen Prozess abkürzen können, indem Sie die Funktionsdefinition direkt in die Zelle eingeben. Der Funktionsdialog dient lediglich der Unterstützung.

Abbildung 14 - Funktionsargumente der Normalverteilung

Die absoluten Materialkosten sind dann die simulierten Kosten in % des Umsatzes mal dem simulierten Umsatz.

Abbildung 15 - Verknüpfung der simulierten Materialkosten mit dem Modell

Die Personalkosten stellen wir ähnlich den Materialkosten dar. Wir nehmen eine Normalverteilung mit Erwartungswert mu = 325 und Standardabweichung sigma = 20 an. Wir gehen jedoch davon aus, dass die Personalkosten nicht unter ein bestimmtes Niveau fallen können. Wir nehmen daher an, sie seien links an der Stelle 300 trunkiert.

Abbildung 16 - Modellannahmen für die Personalkosten

Um diese Annahmen in einen Funktionsaufruf zu verwandeln, öffnen wir den Funktionsdialog und verknüpfen die Parameter mu, sigma und TruncLow mit den Zellen B25, C25 und D25.

Abbildung 17 - Normalverteilung mit Trunkierung

Die Trunkierung der Verteilung an der Stelle 300 stellt sicher, dass keine Zufallszahlen unterhalb dieses Wertes gezogen werden, während die Verteilung auf der rechten Seite unverändert bleibt.

Mit ‚Einfügen’ wird die Funktion in das Arbeitsblatt übertragen
 

Schließlich wird der außerordentliche Ertrag unserer Firma von Kreditrisiken betroffen. Wenn Kunden ausfallen, bevor Rechnungen bezahlt sind, verliert die Firma Geld.

Abbildung 18 - Modellannahmen für außerordentliche Erträge

Wir nehmen an, dass die Anzahl der Kunden, die im Geschäftsjahr ausfallen, Poisson-verteilt sei mit einem Erwartungswert von 5 Ausfällen. Wenn ein oder mehrere Ausfälle eintreten, nehmen wir darüber hinaus an, die Höhe eines jeden Ausfalls sei PERT-verteilt mit minimalem Verlust 0, maximalem Verlust 10 und ‚wahrscheinlichstem’ Verlust 3.

Beachten Sie, dass wir damit an dieser Stelle zwei Quellen der Unsicherheit haben. Einmal ist die Anzahl der Ausfälle zufällig und dann in jedem einzelnen Fall auch die Höhe der Verluste. Der Gesamtverlust ist damit die Summe einer zufälligen Anzahl von Summanden, die jeweils einen zufälligen Betrag haben.

Wir verwenden den Funktionsdialog, um herauszufinden, dass der Aufruf für eine Poisson-verteilte Zufallszahl

Poisson_variate(5)

lautet und für eine PERT-verteilte Zufallszahl

Pert_variate(0, 3, 5).

Einfache Aufrufe dieser Funktionen tragen nicht der Tatsache Rechnung, dass die Verluste in jedem einzelnen Ausfall eines Kunden unterschiedlich sind (die Höhe der Summanden). Es reicht deshalb nicht nur eine Poisson-verteilte und eine PERT-verteilte Zufallszahl zu ziehen und diese miteinander zu multiplizieren, da diese Darstellung bedeuten würde, dass die Verluste in jedem einzelnen Fall genau die gleiche Höhe haben.

Um die Summe einer zufälligen Anzahl Summanden einer jeweils zufälligen Höhe zu berechnen, stellt Risk Kit die Funktion ‚Compound’ zur Verfügung. Öffnen Sie den Funktionsdialog, wählen Sie ‚Compound’ aus der Galerie und fügen Sie die o.s. Funktionsaufrufe als Argumente ein.

Abbildung 19 - Compound-Verteilung in der Verteilungsgalerie³

Der zweite Parameter für die Größe der Verluste muss in Anführungszeichen eingegeben werden, um Excel davon abzuhalten die Funktion sofort auszuwerten. Die drei Parameter der PERT-Verteilung werden dann als Arg1 bis Arg3 eingegeben.

Arg4 bis Arg8 können leer bleiben. Sie sind Platzhalter für andere Verlustverteilungen mit mehr als 3 Parametern.

Abbildung 20 - Aufruf der Compound-Funktion

Indem wir mit ‘Einfügen’ bestätigen, erhalten wir das jetzt vollständig spezifizierte Modell.

Abbildung 21 - Das vollständig spezifizierte Modell

3.3.Definition der Modellausgaben

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Obwohl das Modell spezifiziert ist, können wir die Simulation noch nicht laufen lassen, da noch keine Modellergebnisse definiert sind.

Wie im deterministischen Modell sind wir speziell am Verhalten von EBIT und EBT unter den Einwirkungen der Unsicherheit interessiert. Wir wählen daher diese Größen als Modellergebnisse (Outputs). Dazu markieren wir Zelle C8 und klicken auf ‚Ausgabe’ auf der Risk Kit Toolbar.

Abbildung 22 - Definition von Ausgabezellen

Zelle C8 ist jetzt orange, um sie sichtbar als Ausgabezelle darzustellen. Sie können Ausgabezellen auch Namen geben, indem Sie die Funktion ‚+OutputName(„MyName“)’ hinzufügen. Der so angegebene Name wird in Plots und anderen Ausgaben als Legende für die Ausgabezelle verwendet.

Wir verfahren genauso für EBT in C11.

Abbildung 23 - Die Funktion OutputName

3.4.Konfiguration der Simulation

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Wir sind nun soweit die Simulation laufen lassen zu können. Öffnen Sie die Konfigurationsdialog über die Risk Kit Toolbar, um die Anzahl der Simulationsläufe zu setzen. 5000 Läufe sind als Voreinstellung gewählt. Der Bildschirm wird alle 500 Läufe aktualisiert.

Abbildung 24 - Öffnen des Konfigurationsdialogs

Sie können im Konfigurationsdialog ‘Standardstatistiken ausgeben’ aktivieren, um eine Übersicht über Statistiken der simulierten Verteilungen in einem neuen Tabellenblatt ‚Output’ angezeigt zu bekommen, nachdem die Simulation beendet ist. Wenn Sie ‚Simulationsergebnisse ausgeben’ wählen, werden die Ergebnisse jedes einzelnen Simulationslaufs in einem weiteren Tabellenblatt ausgegeben.

‘Grafiken erzeugen’ stellt die Verteilungen in den Ausgabenzellen grafisch dar, sofern Plots definiert wurden (siehe unten). Wenn Sie ‚Online Grafiken’ aktivieren, werden die Grafikfunktionen bei jeder Aktualisierung des Bildschirms neu gezeichnet, so dass Sie die Ausgabeverteilungen sich entwickeln sehen. Wenn ‚Alle Ausgabezellen plotten’ aktiviert ist, werden alle Ausgabezellen geplottet, ohne dass Plot-Funktionen explizit angegeben werden müssen.

Wenn Sie ‚Startwert zurücksetzen’ markieren, wird der Startwert des Zufallszahlengenerators zu Beginn der Simulation auf seinen ursprünglichen Wert zurückgesetzt, so dass in verschiedenen Simulationen identische Folgen von Zufallszahlen erzeugt werden.

Wenn ‚Funktionsdefinition als Kommentar einfügen’ aktiviert ist, wird die Funktionsdefinition der Zelle als Kommentar jedes Mal beigefügt, wenn Sie den Risk Kit Funktionsdialog verwenden.

Abbildung 25 - Konfigurationsdialog

Wählen Sie den Kontext der Simulation aus der Drop Down Liste im Konfigurationsdialog. Falls sich Ihr Modell auf einem Arbeitsblatt befindet, wählen Sie ‘Aktives Arbeitsblatt’. In diesem Fall muss das Arbeitsblatt, das das Modell enthält, aktiv sein, wenn die Simulation gestartet wird. Diese Option ist als Ausgangswert gesetzt. Risk Kit bietet zusätzlich die Optionen ‚Aktive Arbeitsmappe’ und ‚Alle offenen Arbeitsmappen’ an, die verwendet werden müssen, wenn ein Modell auf mehrere Arbeitsblätter in einer Arbeitsmappe verteilt ist oder wenn es sich sogar über mehrere Arbeitsmappen ausdehnt. Wir wählen ‚Aktive Arbeitsmappe’, da wir später Ergebnisstatistiken auf weiteren Arbeitsblättern hinzufügen werden.

Risk Kit erlaubt es dem Anwender eigene Makro zu schreiben und sie während der Simulation ausführen zu lassen. Hierdurch können Eingabewerte vor der Simulation aktualisiert, Zwischenergebnisse gespeichert werden usw. Geben Sie im Konfigurationsdialog an, welche Makros Sie an welcher Stelle der Verarbeitung ausführen möchten. Beachten Sie, dass sich die Makros in der aktiven Arbeitsmappe befinden und genau den angegebenen Namen haben müssen. Wenn

1. Makro ‘BeforeSimulation’ ausführen - markiert ist, wird das Makro mit dem Namen ‘BeforeSimulation’ vor Beginn der Simulation ausgeführt.

2. Makro ‘BeforeEachRun’ ausführen - markiert ist, wird das entsprechende Makro vor jedem Simulationslauf ausgeführt.

3. Makro ‘AfterEachRun’ ausführen - markiert ist, wird das entsprechende Makro nach jedem Simulationslauf ausgeführt.

4. Makro ‘AfterSimulation’ ausführen - markiert ist, wird das entsprechende Makro am Ende der Simulation ausgeführt.

5. Makro ‘AfterOutput’ ausführen - markiert ist, wird das entsprechende Makro nach der Ausgabe von Statistiken und Simulationsergebnissen (siehe oben) ausgeführt.

Aktivieren Sie ‘Standardstatistiken ausgeben’ und bestätigen Sie mit ‘Speichern’, um den Konfigurationsdialog zu schließen.
 

3.5.Simulation durchführen

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Abbildung 26 - Starten der Simulation

Nachdem die Simulation jetzt konfiguriert ist, können Sie sie starten. Klicken Sie hierzu auf ‚Simulation’ auf der Toolbar.

Während der Simulation wird die Anzahl der bereits ausgeführten Läufe in Excels Statuszeile in der unteren linken Ecke des Bildschirms angezeigt.

Abbildung 27 - Statusinformation

Sie können die Simulation mit <CTRL><T> abbrechen.

Wenn Sie die Simulation mit <PAUSE> anhalten, können Sie sie mit den entsprechenden Buttons der Toolbar fortsetzen oder beenden.

Abbildung 28 - Abbrechen der Simulation

Risk Kit ermöglicht es die Simulation Schritt für Schritt durchzuführen. Nachdem ein Einzelschritt durchgeführt wurde, hält die Simulation jeweils an.

Nach der Simulation wird das neue Tabellenblatt ‘Output’ der aktiven Arbeitsmappe angefügt. Dieses Blatt enthält für jede Ausgabezelle der Simulation eine Spalte mit Standardstatistiken. Als Überschrift wird jeweils der angegebene Outputname oder die Zelladresse verwendet, wenn kein Name angegeben war.

Abbildung 29 - Ausgabestatistiken

Entsprechend können Sie alle zufälligen Ergebnisse für die Ausgabezellen ausgeben lassen, wenn Sie die Option ‘Simulationsergebnisse ausgeben’ im Konfigurationsdialog aktivieren.

Abbildung 30 - Alle Simulationsergebnisse

4.Grafiken

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Um einen Eindruck von der Form der EBIT- und EBT-Verteilungen und auch von den Risikofaktoren zu erhalten, die in das Modell eingehen, können Sie das Modell um Grafiken erweitern, indem Sie Diagramme in Zellen anzeigen lassen oder eine Grafik-Funktion in das Arbeitsblatt einfügen.

Der einfachste Weg einer Visualisierung ist es auf der Risk Kit Toolbar auf ‚Konfiguration‘ zu klicken und die Check-Box ‚Histogramme in der Zelle anzeigen‘ zu aktivieren. Nach einer Simulation wird dann ohne weitere Funktionen eingeben zu müssen in jeder Ausgabezelle ein Histogramm der betreffenden Verteilung angezeigt. Sie können also jede Zelle, deren Verteilung Sie sehen wollen, als Ausgabezelle markieren und erhalten die Visualisierung nach einer Neusimulation.

Aktivieren Sie zusätzlich das Kästchen ‚Online Grafiken‘, um die Entwicklung der Verteilung während der Simulation zu sehen.

Abbildung 31 - Histogramme in allen Ausgabezellen anzeigen lassen

Wenn Sie nur für einzelne Ausgaben Grafiken anzeigen möchten, können Sie dies mit der Funktion ‚PlotInCell‘ tun. Hierfür ist es nicht erforderlich das oben erwähnte Kontrollkästchen zu aktivieren. Fügen Sie einfach analog zu der Funktion ‚Outputname‘ die Funktion ‚PlotInCell‘ an die in einer Zelle befindliche Formel an. Die Funktion gibt den Wert 0 zurück, so dass sie das Ergebnis der Formel nicht ändert. Die Funktion referenziert als einzigen Pflichtparameter auf die Ausgabezelle, deren Verteilung dargestellt werden soll. Die Funktion kann, aber muss nicht selbst in einer Ausgabezelle stehen.

Abbildung 32 - Die Funktion 'PlotInCell'

Die Funktion hat noch zwei weitere Parameter.

Abbildung 33 - Parameter der Funktion 'PlotInCell'

Sie ermöglichen die Anzahl der Intervalle der Darstellung genau anzugeben (Ausgangswert ist 20) und den Typ der Grafik festzulegen (Histogramm, Verteilungsfunktion oder umgekehrte Verteilungsfunktion. Ausgangswert ist „HISTOGRAM“. Beachten Sie die Anführungszeichen.).

Abbildung 34 - Verschiedene Ausgaben der 'PlotInCell'-Funktion

Setzen Sie ggf. die Schriftfarbe für die Zellen, in denen eine Verteilung gezeigt wird, auf die Hintergrundfarbe, im Beispiel oben auf weiß, um den Wert 0.0, den die Funktion zurückgibt, unsichtbar zu machen.

Die zweite Möglichkeit der Visulisierung liefert die Funktion ‚Plot‘. Diese Funktion berechnet und zeichnet ein Histogramm der angegebenen simulierten Verteilung sowie ihre Verteilungsfunktion (CDF) und inverse und umgekehrte Verteilungsfunktionen (ICDF, reverse CDF), sie schätzt ihre Kerndichte und zeichnet einen Box-Plot.

Die Plot-Funktion kann zahlreiche optionale Argumente enthalten wie Legenden, den Titel und die Möglichkeit die Grafik in ein Arbeitsblatt einzubetten. In der Onlinehilfe erhalten Sie zu allen Einzelheiten der Plot -Funktion eingehende Informationen.

Sie finden Sie Plot-Funktion im Funktionsdialog in der Kategorie ‚General’.

Abbildung 35 - Allgemeine Funktionen

Der Dialog führt Sie durch die Funktionsparameter.

Abbildung 36 - Definition der Plot-Funktion

Der einzige nicht-optionale Parameter der Plot-Funktion ist eine Referenz auf eine Ausgabezelle der Simulation. Daher können Sie sehr einfach Grafiken erzeugen, indem Sie z.B. ‘+Plot(C8)’ in eine leere Zelle schreiben⁴.

Abbildung 37 - Die Plot-Funktion

Beachten Sie, dass zwei Anforderungen erfüllt sein müssen, damit eine Plot-Funktion ausgeführt wird. Zunächst muss die Zelle, die die Funktion enthält, als Grafikzelle über die Toolbar markiert sein. Die Zelle färbt sich in diesem Fall dunkel orange.

Abbildung 38 - Eine Zelle als Grafikzelle markieren

Als Zweites muss im Konfigurationsdialog die Check Box ‘Grafiken erzeugen’ markiert sein.

Abbildung 39 - Konfigurationsdialog

Nach einem Neustart der Simulation wird die Grafik erzeugt.

Abbildung 40 - Grafikfenster

Der Outputname ‘EBIT’ der Ausgabezelle wird als Legende für die Verteilung verwendet. Beachten Sie, dass Ihnen bei einem Rechtsklick auf die Grafik, die Legende etc. ein extensives Kontextmenü zur Verfügung steht, das es Ihnen ermöglicht das Layout der Grafik sowie Farben Schriften, Skalierungen, Stile und viele andere anzupassen.

Abbildung 41 - Kontextmenü der Grafik

Der Dialog zu den Achseneigenschaften ermöglicht es die Anzahl der angezeigten Nachkommastellen zu setzen ebenso wie die Anzeige eines Tausendertrennzeichens, einer Einheit und ihrer Benennung (z.B. TEUR), der Anzahl der angezeigten Beschriftungen usw.

Abbildung 42 - Eigenschaften der linken Y Achse

Sie können zwischen Histogramm, CDF, ICDF und Reverse CDF mit <CTRL>-D hin- und herschalten, oder indem Sie auf die entsprechenden Tabs klicken oder über das Kontextmenü gehen (vgl. Abbildung 37).

Mit den Steuerungselementen auf der rechten Seite des Plot-Fensters können das Aussehen des Plots anpassen:

• Sie können den dargestellten Wertebereich verändern, d.h. das kleinste und größte Quantil, zwischen denen die Verteilung geplottet wird. Werden mehrere Verteilungen in einer Grafik gezeigt, geht der dargestellte Wertebereich vom kleinsten unteren bis zum größten oberen Quantil dieser Verteilungen.

• Aktivieren Sie die Checkboxen, um das Lineal und das Gitter der x- und y-Achse einzublenden.

• Wählen Sie die Diskretisierung der x-Achse (Punkte).

• Aktivieren Sie die Checkboxen, um die Legende der x- und y-Achse einzublenden.

• Kopieren Sie die Grafik in die Zwischenablage, um sie in andere Dokumente einfügen zu können.

• Aktiveren Sie die Checkbox, um den Titel bzw. die Legende anzuzeigen.

Auf der rechten Seite des Fensters finden Sie den Reiter ‘Statistiken’ mit Standardstatistiken. Ein Doppelklick auf eine Zeile der Tabelle zeigt die Statistik in der Grafik an (Abbildung 39). Ein Doppelklick auf den Titel einer Spalte entfernt die betreffende Verteilung aus der Grafik oder blendet sie wieder ein. Dies ist inbesondere hilfreich, wenn Sie mehrere Verteilungen in einer Grafik dargestellt haben.

Abbildung 43 - Statistiken als Teil der Grafik

Risk Kit stellt drei verschiedene Optionen für die Skalierung der y-Achse zur Verfügung:

1. Dichtefunktion – die vertikale Achse wird so skaliert, dass die Fläche unter dem Histogramm gleich 1 ist;

2. Relative Häufigkeit – die vertikale Achse wird so skaliert, dass sie die relative Häufigkeit der Realisationen in einem Balken des Histogramms darstellt;

3. Absolute Häufigkeit – die vertikale Achse zeigt die absolute Häufigkeit der Simulationsergebnisse in einem Balken des Histogramms.

Öffnen Sie das Kontextmenü der linken y-Achse, um die Skalierung auszuwählen.

Abbildung 44 - Skalierung der y-Achse

Sie können die Grafik über das Kontextmenü in die Zwischenablage kopieren, um sie in Ihre Präsentationen einzufügen.

Wenn Sie die Grafik nach der Simulation in ein Arbeitsblatt einfügen möchten, geben Sie die Parameter outputChartCell und outputChartType in der Plot-Funktion an (vgl. Abbildung 41). Der erste Parameter gibt die Zelle an, in die die obere linke Ecke der Grafik eingefügt wird. Der zweite Parameter definiert die Art, wie die Verteilung dargestellt wird. Im Beispiel wird die Verteilung als Histogramm geplottet. Sie können darüber hinaus die Breite und Höhe der Grafik in Pixeln angeben.

Abbildung 45 - Definition der Plot-Funktion

Bestätigen Sie mit ‚Einfügen‘, um die Funktion in die Zelle einzufügen bzw. zu aktualisieren.

Nach der Simulation wird der Plot in das Arbeitsblatt eingebettet.

Abbildung 46 - Eingebettete Grafik

Risk Kit ersetzt die eingebetteten Charts automatisch nach jeder Neusimulation.

Risk Kit ermöglicht es alle eingebetteten Grafiken und alle Grafikfenster zu löschen, indem Sie den entsprechenden Menüpunkt ‘Grafikfenster schließen’ im Drop-Down-Menu der Toolbar auswählen.

Abbildung 47 - Drop down Menü des Buttons ‘Grafikfenster’

Hierbei werden nur die Grafiken gelöscht, die von Risk Kit selbst eingefügt wurden. Alle anderen Grafiken bleiben erhalten.

4.1.Statistikfunktionen

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Risk Kit bietet Zellfunktionen, die es erlauben Ergebnisstatistiken in Arbeitsblättern abzufragen, so dass layoutete Reports erstellt werden können. Sie finden diese Funktionen in der Kategorie ‘Statistics’ des Funktionsdialogs.

Abbildung 48 - Statistikfunktionen

Diese Kategorie enthält Funktionen wie:

• Maximum – berechnet das Maximum der simulierten Werte einer Ausgabezelle;

• Mean – berechnet den Mittelwert der simulierten Werte einer Ausgabezelle;

• MedianSim – berechnet den Median der simulierten Werte einer Ausgabezelle;

• Minimum – berechnet das Minimum der simulierten Werte einer Ausgabezelle;

• Range5-95 – berechnet die Spannweite zwischen dem 5%- und dem 95%-Quantil der simulierten Werte einer Ausgabezelle;

• Variance - berechnet die Varianz der simulierten Werte einer Ausgabezelle;

• Perc – berechnet ein Quantil, d.h. den Value at Risk einer Ausgabezelle zu dem angegebenen Konfidenzniveau;

• …

Platzieren Sie den Cursor auf eine leere Zelle und wählen Sie die Mean Funktion aus der Kategorie ‚Statistics. Der Dialog zur Eingabe der Funktionsargumente erscheint:

Abbildung 49 - Definition der Mittelwertfunktion

Der Parameter OutputCell referenziert auf Zelle C8, die ein Modellergebnis definiert. Bestätigen Sie mit ‚Einfügen’, um die Funktion in die aktive Zelle einzufügen.

Abbildung 50 - Mittelwertfunktion

Wenn die Mean-Funktion definiert wurde, gibt sie den Wert ‘Erst nach der Simulation definiert‘ zurück. Der Grund hierfür besteht darin, dass die Verteilung, die von der Ausgabezelle repräsentiert wird, erst bekannt ist, wenn die Simulation durchgeführt wurde.

Sie können die Ergebnisstatistiken auch auf einem anderen Arbeitsblatt platzieren, um übersichtliche Reports zu erstellen, die die Simulationsergebnisse zusammenfassen. Ein solcher Report kann Statistiken ebenso enthalten wie eingebettete Grafiken.

Beachten Sie, dass Sie neue Risiko- und Ertragsmaße definieren können, indem Sie Ergebnisse mit anderen Größen kombinieren wie etwas RAROC als risikobereinigter Ertrag im Verhältnis zum Kapital oder das mittlere EBT (bei Risiko) im Verhältnis zum Eigenkapital.

Abbildung 51 - Ergebnisreport

5.Sensitivitätsanalysen

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Mitunter ist es von Interesse zu sehen, welche zufälligen Eingabeparameter oder Zwischenergebnisse die stärkste Wirkung auf die Modellausgaben haben. Um eine solche Sensitivitätsanalyse zu machen, definieren Sie alle Zellen, deren Wirkung Sie betrachten möchten, als Eingabezellen⁵. Markieren Sie die Zellen mit den Werten für den Umsatz (B4), die Material- (B5) und Personalkosten (B6) und den außerordentlichen Ertrag (B10) und klicken Sie auf den ‚Eingabe’-Button auf der Risk Kit Toolbar (vgl. Abbildung 52).

Abbildung 52 - Definition der Eingabezellen

Diese Zellen sind jetzt grün gefärbt, um sie deutlich sichtbar als Eingabezellen auszuweisen. Umgekehrt müssen Sie alle Zellen, deren Abhängigkeit von den Eingabezellen Sie analysieren möchten, als Ausgabezellen markieren. Wir betrachten hier das EBIT und das EBT, die bereits als Ausgabezellen markiert wurden.

Beachten Sie, dass es nicht erforderlich ist, dass die Eingabezellen Zufallszahlen enthalten, die unmittelbar in jedem Simulationslauf gezogen werden. Sie können vielmehr auch Zwischenergebnisse der Simulation enthalten, die noch von anderen Zellen abhängen.

Wenn alle Eingabezellen definiert wurden, klicken Sie auf den Button ‚Sensitivitäten’ auf der Risk Kit Toolbar.

Abbildung 53 - Öffnen des Dialogs zur Sensitivitätsanalyse

Es erscheint der folgende Dialog:

Abbildung 54 - Sensitivitätsanalyse

Wählen Sie alle Eingabe- und Ausgabezellen aus den Listen, die Sie in die Analyse mit einbeziehen möchten. Spezifizieren Sie den Sensitivitätstype, z.B. ‚Lineare Korrelationen’. Die Sensitivitäten werden dann als lineare Korrelationen, d.h. durch den Pearson Korrelationskoeffizienten berechnet. Starten Sie die Berechnung, indem Sie den ‚Analyse’-Button drücken.

Nach Abschluss der Simulation zeigt Risk Kit die Ergebnisse in folgendem Dialog an:

Abbildung 55 -Ergebnisdarstellung der Sensitivitätsanalyse

Durch Drücken des Buttons ‘In die Zwischenablage kopieren’ können Sie die Ergebnisse kopieren und mit <CTRL>-<V> in ein Arbeitsblatt einfügen.

Abbildung 56 - Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse in einem Arbeitsblatt

Die Sensitivitäten werden in einer Übersichtsgrafik und in einer individuellen Grafik für jede Ausgabezelle dargestellt. Sie können zwischen den Grafiken wechseln, indem Sie auf die entsprechenden Tabs klicken.

Sie können an der Grafik direkt ablesen, dass in unserem Beispiel die Materialkosten die stärkste Auswirkung auf das EBT haben. Insbesondere führt ein Anstieg in den Materialkosten zu einem Niedergang des EBT. Diese intuitive Tatsache wird durch das negative Vorzeichen der Sensitivität widergespiegelt.

Abbildung 57 - Ergebnisgrafik der Sensitivitätsanalyse

5.1.Sensitivitätsanalysen mit der Risk Kit Zellfunktion

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Risk Kit stellt eine Zellfunktion Sensitivity zur Verfügung, die es erlaubt dieselben Sensitivitätsanalysen durchzuführen wie mit dem oben beschriebenen Analysedialog. Bei Verwendung der Zellfunktion können die Ergebnisse jedoch in ein Arbeitsblatt eingebettet werden und zusammen mit der Simulation laufen. Die Funktion befindet sich in der Kategorie ‚Statistics’ des Funktionsdialogs (vgl. Abbildung 58Fehler: Verweis nicht gefunden).

Abbildung 58 - Zellfunktion Sensitivity

Gehen Sie auf eine leere Zelle und wählen Sie die Funktion Sensitivity aus dem Funktionsdialog. Der Eingabedialog in Abbildung 59Fehler: Verweis nicht gefunden erscheint

Abbildung 59 - Definition der Sensitivity-Funktion

Der Parameter sensiType = “LINEAR” gibt an, dass die Sensitivitäten als lineare Korrelationen berechnet werden. Der Parameter InputCells bezieht sich auf die Zellen B4, B5, B6 und B10 auf dem Arbeitsblatt ‘Modell’. Der Parameter OutputCell bezieht sich auf die Ausgabezelle C11 auf dem Arbeitsblatt ‘Modell’ (dem EBT in unserem Beispiel).

Geben Sie den Parameter CreateChart mit WAHR an, wenn Sie nach der Simulation Ergebnisgrafiken in ein Arbeitsblatt einbetten möchten. Der Parameter ResultCell gibt die Zelle an, in die die Grafik eingebettet wird (Zelle A51 in dem Arbeitsblatt ‘Sensis’).

Da die Sensitivitätsfunktion statt einer einzelnen Zahl eine ganze Tabelle als Ergebnis liefert, ist sie in Excel eine Array-Funktion. Um sie als solche einzugeben, wählen Sie in der Dropdown-Liste "Als Array-Formel einfügen"⁶.

Abbildung 60 - Sensitivity-Funktion

Die Formel erscheint nun in geschweiften Klammern in Excels Formelzeile (vgl. Abbildung 60Fehler: Verweis nicht gefunden).

Wenn die Sensitivity-Funktion definiert ist, drücken Sie den Button ‘Simulation’ auf der Risk Kit Toolbar, um die Simulation zu starten. Die Sensitivitäten werden nach der Simulation angezeigt. Sie können die Ergebnisse wie jede andere Excelzelle formatieren.

Abbildung 61 - Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse

6.Zusammenfassung

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Monte-Carlo Simulationen bieten ein hohes Maß an Flexibilität bei der Erstellung und Lösung fast beliebig komplexer Risikomodelle. Risk Kit unterstützt den Modellierungs- und Analyseprozess und senkt den Zeit- und Kostenaufwand für Monte-Carlo Simulationen erheblich. Risk Kit ist einfach zu verwenden und fügt sich in Ihre gewohnte Arbeitsumgebung ein.

Über die in dieser Beispielanwendung gezeigten Funktionalitäten hinaus bietet Risk Kit ein- und mehrdimensionale stochastische Prozesse, mehrdimensionale Verteilungen und Copulas sowie die Parameterschätzung von Verteilungen.

Risk Kit ist mit einer Einzelplatzlizenz (Professional) und mit einer Netzwerk-Floating-Lizenz (Enterprise) erhältlich. Eine kostenlose verlängerbare Lizenz für eine Einzelplatzversion mit reduziertem Funktionsumfang (Light), aber für die kommerzielle Nutzung, kann online unter license.wehrspohn.info erhalten werden.

Bitte kontaktieren Sie uns für weitere Informationen.

7.Unsere Produkte

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Die Risk Kit Suite ist in Excel integriert und erweitert den Arbeitsplatz der Risikomanagerin und des Risikomanagers um alle Funktionen des modernen Risikomanagements.

Risk Kit

• Monte-Carlo-Simulation mit allen praxisrelevanten ein- und mehrdimensionalen Verteilungen

• Simulation von Entwicklungen

• Visualisierung von Risiken

• Reporting

• Kalibrierung

Risk Kit R

• Statistische Analysen mit R

Risk Kit Data

• Online-Marktdatenanbindung an die Europäische Zentralbank, Federal Reserve Economic Data, die Weltbank, Eurostat und Marketstack

• Wechselkurse, Zinskurven, Rohstoffpreise, Aktienkurse, Wirtschafts- und Sozial-Statistiken
   

Die Risk Kit Suite ist in Einzelplatz- und Unternehmenslizenzen verfügbar.

Der Enterprise Risk Evaluator ist eine zentrale Plattform für den unternehmensweiten Risikomanagementprozess. Er bietet

• Qualitative und quantitative Risikoerfassung und -bewertung.

• Risikoaggregation, Risikotragfähigkeit, Risikoanalyse

• Integration mit der Planung

• Vom Anwender definierbares Reporting

• Maßnahmencontrolling und Internes Kontrollsystem

• Vorfall- und Schadenmanagement
   

Der Enterprise Risk Evaluator kann mit der Risk Kit Suite kombiniert werden.

Der Market Risk Evaluator ist ein System zur Marktrisikoanalyse für Banken. Er enthält

• Marktdatenimporte und -konsolidierung

• Cash Flow Berechnungen

• Sensitivitätsberechnungen

• Szenarioanalysen

• Monte-Carlo-Simulation mit verschiedenen Modellen

• Portfolio- und Marktfaktor-Backtesting

Der Credit Risk Evaluator ist ein Werkzeug zur Kreditportfolioanalyse ebenfalls für Banken. Er bietet

• Mehrere Portfoliomodelle einschließlich CreditMetrics und CreditRisk+

• Ein- und Mehrperioden-Modelle

• Risiko- und Ertragsanalysen

• Länderrisiken

• Drill-Down auf beliebige Segmentierungen vom Einzelgeschäft bis zur Gesamtbank

Ergänzend zu den Produkten bieten wir Beratungsleistungen an, insbesondere zu

• Gestaltung von Modellen

• Risikomanagementmethodik

• Gestaltung von Geschäftsprozessen

• Risikoanalysen

• Integration unserer Systeme

• Entwicklung von Kundensystemen

• Schulungen

Bitte sprechen Sie uns an, wenn Sie weitere Informationen oder eine Web-Vorstellung wünschen.

1 Sie können das Beispielmodell sowie Risk Kit als Software im Login-Bereich herunterladen. Benutzername und Passwort können sie selbst vergeben.

2 Um Tastenkombinationen hinzuzufügen oder zu löschen, klicken Sie in der Symbolleiste auf "Add-in-Werkzeuge - Tastenkombinationen".

3 Beachten Sie die zweite Version der zusammengesetzten Verteilung, die auch Versicherungsschwellenwerte enthält.

4 Sie können mehrere Verteilungen gleichzeitig plotten, indem Sie die Referenzen auf die Ausgabezellen der Verteilungen in Klammern eingeben, z.B. ‘+Plot((C8,C11))’, um es für Excel deutlich zu machen, dass (C8,C11) den Wert des ersten Parameters der Plot-Funktion darstellt.

5 Sie können dieselbe Zelle als Eingangs- und als Ausgangzelle gleichzeitig markieren. Sie können also insbesondere auch auf Zellen, die als Eingangszellen markiert sind, die Funktion ‚PlotInCell‘ anwenden.

6 Beachten Sie, dass Sie in Excel eine Array-Formel auch manuell eingeben können, indem Sie den gesamten Ergebnisbereich markieren, in die Formelleiste klicken und <CTRL><SHIFT><ENTER> drücken.